Urodził się w głęboko religijnej rodzinie w Orsieres w kantonie Valais. W 21. roku życia wstąpił do zakonu kanoników regularnych. Nowicjat odbywał w klasztorze znajdującym się na Wielkiej Przełęczy Świętego Bernarda. Już wtedy myślał o pracy misyjnej w Chinach. I tam skierowali go przełożeni po ślubach wieczystych - do Weisi, gdzie studiował teologię i język chiński. W 1938 r. w Hanoi przyjął święcenia kapłańskie, po czym przez kilka lat pozostał w Weisi, gdzie był wychowawcą kleryków. Na początku 1945 r. został proboszczem w Yerkalo, w jedynej wówczas istniejącej na terenie Tybetu parani katolickiej. W tym czasie władze, eliminując chrześcijaństwo z Tybetu, zażądały, aby Maurycy opuścił ten teren. Gdy zdecydowanie odmówił i postanowił zostać razem z wiernymi, dokonano napadu na jego dom i grożono mu śmiercią.

     Ostatecznie, za radą biskupa, przeniósł się do pobliskiej miejscowości, skąd utrzymywał kontakt z parafianami i starał się - także przez placówki dyplomatyczne, w tym nuncjaturę - o zgodę na powrót. Kiedy starania nie przyniosły rezultatu, postanowił udać się do ówczesnego Dalajlamy XIV. W drodze, 11 sierpnia 1949 r., został zamordowany wraz z jedną z towarzyszących mu osób. Miał 39 lat.

     "Maurycy Tornay odkrył, że aby odpowiedzieć wielkodusznie na Boże wezwanie, «trzeba iść aż do końca», kochać w sposób heroiczny. (...) Rozpoczyna od tego, że staje się Tybetańczykiem wśród Tybetańczyków; kocha ten kraj, znajduje w nim nową ojczyznę" - mówił o ks. Maurycym Tornayu papież Jan Paweł II, który 16 maja 1993 r. ogłosił go błogosławionym.